Элементы механики сплошных сред. Элементы механики сплошных сред Ламинарное и турбулентное течения

⁰

ЛЕКЦИЯ № 5 Элементы механики сплошных сред Физическая модель: сплошная среда – это модель вещества, в рамках которой пренебрегают внутренним строением вещества, полагая, что вещество непрерывно распределено по всему занимаемому им объёму и целиком заполняет этот объём. Однородной называется среда, имеющая в каждой точке одинаковые свойства. Изотропной называется среда, свойства которой одинаковы по всем направлениям. Агрегатные состояния вещества Твердое тело – состояние вещества, характеризующееся фиксированным объемом и неизменностью формы. Жидкость – состояние вещества, характеризующееся фиксированным объемом, но не имеющее определенной формы. Газ – состояние вещества, при котором вещество заполняет весь предоставленный ему объем.

Механика деформируемого тела Деформация – изменение формы и размеров тела. Упругость - свойство тел сопротивляться изменению их объема и формы под воздействием нагрузок. Деформация называется упругой, если она исчезает после снятия нагрузки и – пластической, если она после снятия нагрузки не исчезает. В теории упругости доказывается, что все виды деформаций (растяжение - сжатие, сдвиг, изгиб, кручение) могут быть сведены к одновременно происходящим деформациям растяжения - сжатия и сдвига.

Деформация растяжения – сжатия Растяжение - сжатие - увеличение (или уменьшение) длины тела цилиндрической или призматической формы, вызываемое силой, направленной вдоль продольной его оси. Абсолютная деформация – величина, равная изменению размеров тела, вызванному внешним воздействием: , (5. 1) где l 0 и l - начальная и конечная длина тела. Закон Гука (I) (Роберт Гук, 1660 г.): сила упругости пропорциональна величине абсолютной деформации и направлена в сторону ее уменьшения: , (5. 2) где k - коэффициент упругости тела.

Относительная деформация: . (5. 3) Механическое напряжение – величина, характеризующая состояние деформированного тела =Па: , (5. 4) где F - сила, вызывающая деформацию, S - площадь сечения тела. Закон Гука (II): Механическое напряжение, возникающее в теле, пропорционально величине его относительной деформации: , (5. 5) где E - модуль Юнга – величина, характеризующая упругие свойства материала, численно равная напряжению, возникающему в теле при единичной относительной деформации, [E]=Па.

Деформации твердых тел подчиняются закону Гука до известного предела. Связь между деформацией и напряжением представляется в виде диаграммы напряжений, качественный ход которой рассмотрен для металлического бруска.

Энергия упругой деформации При растяжении – сжатии энергия упругой деформации, (5. 8) где V – объем деформируемого тела. Объемная плотность растяжении – сжатии энергии упругой деформации при (5. 9) Объемная плотность деформации сдвига энергии упругой деформации (5. 10) при

Элементы механики жидкостей и газов (гидро- и аэромеханика) Находясь в твердом агрегатном состоянии, тело одновременно обладает как упругостью формы, так и упругостью объема (или, что то же самое, при деформациях в твердом теле возникают как нормальные, так и тангенциальные механические напряжения). Жидкости и газы обладают лишь упругостью объема, но не обладают упругостью формы (они принимают форму сосуда, в котором находятся). Следствием этой общей особенности жидкостей и газов является одинаковость в качественном отношении большинства механических свойств жидкостей и газов, а их отличием являются лишь количественные характеристики (например, как правило, плотность жидкости больше плотности газа). Поэтому в рамках механики сплошных сред используется единый подход к изучению жидкостей и газов.

Исходные характеристики Плотность вещества скалярная физическая величина, характеризующая распределение массы по объему вещества и определяемая отношением массы вещества, заключённой в некотором объёме, к величине этого объёма =м/кг 3. В случае однородной среды плотность вещества рассчитывается по формуле (5. 11) В общем случае неоднородной среды масса и плотность вещества связаны соотношением (5. 12) Давление – скалярная величина, характеризующая состояние жидкости или газа и равная силе, которая действует на единичную поверхность в направлении нормали к ней [p]=Па: (5. 13)

Элементы гидростатики Особенности сил, действующих внутри покоящейся жидкости (газа) 1) Если внутри покоящейся жидкости выделить небольшой объем, то жидкость на этот объем оказывает одинаковое давление во всех направлениях. 2) Покоящаяся жидкость действует на соприкасающуюся с ней поверхность твердого тела с силой, направленной по нормали к этой поверхности.

Уравнение неразрывности Трубка тока - часть жидкости, ограниченная линиями тока. Стационарным (или установившимся) называется такое течение жидкости, при котором форма и расположение линий тока, а также значения скоростей в каждой точке движущейся жидкости со временем не изменяются. Массовый расход жидкости – масса жидкости, проходящая через поперечное сечение трубки тока в единицу времени =кг/с: , (5. 15) где и v – плотность и скорость течения жидкости в сечении S.

Уравнение неразрывности – математическое соотношение, в соответствии с которым при стационарном течении жидкости ее массовый расход в каждом сечении трубки тока один и тот же: , (5. 16)

Несжимаемой называется жидкость, плотность которой не зависит от температуры и давления. Объемный расход жидкости – объем жидкости, проходящий через поперечное сечение трубки тока в единицу времени =м 3/с: , (5. 17) Уравнение неразрывности несжимаемой однородной жидкости – математическое соотношение, в соответствии с которым при стационарном течении несжимаемой однородной жидкости ее объемный расход в каждом сечении трубки тока один и тот же: , (5. 18)

Вязкость – свойство газов и жидкостей оказывать сопротивление перемещению одной их части относительно другой. Физическая модель: идеальная жидкость – воображаемая несжимаемая жидкость, в которой отсутствуют вязкость и теплопроводность. Уравнение Бернулли (Даниил Бернулли 1738 г.) - уравнение, являющееся следствием закона сохранения механической энергии для стационарного потока идеальной несжимаемой жидкости и записанное для произвольного сечения трубки тока, находящейся в поле сил тяжести: . (5. 19)

В уравнении Бернулли (5. 19): p - статическое давление (давление жидкости на поверхность обтекаемого ею тела; - динамическое давление; - гидростатическое давление.

Внутреннее трение (вязкость). Закон Ньютона (Исаак Ньютон, 1686 г.): сила внутреннего трения, приходящаяся на единицу площади движущихся слоев жидкости или газа, прямо пропорциональна градиенту скорости движения слоев: , (5. 20) где - коэффициент внутреннего трения (динамическая вязкость), = м 2 /с.

Виды течения вязкой жидкости Ламинарное течение - форма течение, при которой жидкость или газ перемещается слоями без перемешивания и пульсаций (то есть беспорядочных быстрых изменений скорости и давления). Турбулентное течение - форма течения жидкости или газа, при которой их элементы совершают неупорядоченные, неустановившиеся движения по сложным траекториям, что приводит к интенсивному перемешиванию между слоями движущихся жидкости или газа.

Число Рейнольдса Критерий перехода ламинарного режима течения жидкости в турбулентный режим основан на использовании числа Рейнольдса (О сборн Рéйнольдс, 1876 -1883 гг.). В случае движения жидкости по трубе число Рейнольдса определяется как, (5. 21) где v – средняя по сечению трубы скорость жидкости; d – диаметр трубы; и - плотность и коэффициент внутреннего трения жидкости. При значениях Re 4000 – турбулентный режим. При значениях 2000

Ламинарное течение вязкой жидкости в горизонтальной трубе Рассмотрим течение вязкой жидкости, обратившись непосредственно к опыту. При помощи резинового шланга подсоединим к водопроводному крану тонкую горизонтальную стеклянную трубку с впаянными в нее вертикальными манометрическими трубками (см. рисунок). При небольшой скорости течения хорошо видно понижение уровня воды в манометрических трубках в направлении течения (h 1>h 2>h 3). Это указывает на наличие градиента давления вдоль оси трубки – статическое давление в жидкости уменьшается по потоку.

Ламинарное течение вязкой жидкости в горизонтальной трубе При равномерном прямолинейном течении жидкости силы давления уравновешиваются силами вязкости.

Распределение скоростей в поперечном сечении потока вязкой жидкости можно наблюдать при ее вытекании из вертикальной трубки через узкое отверстие (см. рисунок). Если, например, при закрытом кране К налить вначале неподкрашенный глицерин, а затем сверху осторожно добавить подкрашенный, то в состоянии равновесия граница раздела Г будет горизонтальной. Если кран К открыть, то граница примет форму, похожую на параболоид вращения. Это указывает на существование распределения скоростей в сечении трубки при вязком течении глицерина.

Формула Пуазейля Распределение скоростей в сечении горизонтальной трубы при ламинарном течении вязкой жидкости определяется формулой, (5. 23) где R и l радиус и длина трубы, соответственно, p – разность давлений на концах трубы, r – расстояние от оси трубы. Объемный расход жидкости определяется формулой Пуазейля (Жан Пуазейль, 1840 г.): (5. 24)

Движение тел в вязкой среде При движении тел в жидкости или газе на тело действует сила внутреннего трения, зависящая от скорости движения тела. При малых скоростях наблюдается ламинарное обтекание тела жидкостью или газа и сила внутреннего трения оказывается пропорциональной скорости движения тела и определяется формулой Стокса (Джордж Стокс, 1851 г.): , (5. 25) где b – постоянная, зависящая от формы тела и его ориентации относительно потока, l – характерный размер тела. Для шара (b=6 , l=R) сила внутреннего трения: , (5. 26) где R – радиус шара.

Общие свойства жидкостей и газов. Уравнение равновесия и движение жидкости. Гидростатика несжимаемой жидкости. Стационарное движение идеальной жидкости. Уравнение Бернулли. Идеально упругое тело.Упругие напряжения и деформации. Закон Гука. Модуль Юнга.

Релятивистская механика.

Принцип относительности и преобразования Галилея. Экспериментальные обоснования специальной теории относительности(СТО). Постулаты специальной теории относительности Эйнштейна. Преобразования Лоренца. Понятие одновременности. Относительность длин и промежутков времени. Релятивистский закон сложения скоростей. Релятивистский импульс. Уравнение движения релятивистской частицы. Релятивистское выражение для кинетической энергии. Взаимосвязь массы и энергии. Соотношение между полной энергией и импульсом частицы. Границы применимости классической (ньютоновской) механики.

Основы молекулярной физики и термодинамики

Термодинамические системы.Идеальный газ .

Динамические и статистические закономерности в физике. Статистический и термодинамический методы исследования макроскопических явлений.

Тепловое движение молекул. Взаимодействие между молекулами. Идеальный газ. Состояние системы. Термодинамические параметры состояния. Равновесные состояния и процессы, их изображение на термодинамических диаграммах. Уравнение состояния идеального газа.

Основы молекулярно-кинетической теории.

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеальных газов и его сравнение с уравнением Клапейрона-Менделеева. Средняя кинетическая энергия молекул. Молекулярно-кинетическое толкование термодинамической температуры. Число степеней свободы молекулы. Закон равномерного распределения энергии по степеням свободы молекул. Внутренняя энергия и теплоемкость идеального газа.

Закон Максвелла для распределения молекул по скоростям и энергиям теплового движения. Идеальный газ в силовом поле. Больцмановское распределение молекул в силовом поле. Барометрическая формула.

Эффективный диаметр молекул. Число столкновений и средняя длина свободного пробега молекул. Явления переноса.

Основы термодинамики.

Работа газа при изменении его объема. Количество теплоты. Первое начало термодинамики. Применение первого начала термодинамики к изопроцессам и адиабатическому процессу идеального газа. Зависимость теплоемкости идеального газа от вида процесса. Второе начало термодинамики. Тепловой двигатель. Круговые процессы. Цикл Карно, коэффициент полезного действия цикла Карно.

3 .Электростатика

Электрическое поле в вакууме.

Закон сохранения электрического заряда. Электрическое поле. Основные характеристики электрического поля: напряженность и потенциал. Напряженность как градиент потенциала. Расчет электростатических полей методом суперпозиции. Поток вектора напряженности. Теорема Остроградского-Гаусса для электростатического поля в вакууме. Применение теоремы Остроградского-Гаусса к расчету поля.

Электрическое поле в диэлектриках.

Свободные и связанные заряды. Типы диэлектриков. Электронная и ориентационная поляризации. Поляризованность. Диэлектрическая восприимчивость вещества. Электрическое смещение. Диэлектрическая проницаемость среды. Вычисление напряженности поля в однородном диэлектрике.

Проводники в электрическом поле.

Поле внутри проводника и у его поверхности. Распределение зарядов в проводнике. Электроемкость уединенного проводника. Взаимная емкость двух проводников. Конденсаторы. Энергия заряженных проводника, конденсатора и системы проводников. Энергия электростатического поля. Объемная плотность энергии.

Постоянный электрический ток

Сила тока. Плотность тока. Условия существования тока. Сторонние силы. Электродвижущая сила источника тока. Закон Ома для неоднородного участка электрической цепи. Правила Кирхгофа. Работа и мощность электрического тока. Закон Джоуля – Ленца. Классическая теория электропроводности металлов. Трудности классической теории.

Электромагнетизм

Магнитное поле в вакууме.

Магнитное взаимодействие постоянных токов. Магнитное поле. Вектор магнитной индукции. Закон Ампера. Магнитное поле тока. Закон Био-Савара-Лапласа и его применение к расчету магнитного поля прямолинейного проводника с током. Магнитное поле кругового тока. Закон полного тока (циркуляция вектора магнитной индукции) для магнитного поля в вакууме и его применение к расчету магнитного поля тороида и длинного соленоида. Магнитный поток. Теорема Остроградского-Гаусса для магнитного поля. Вихревой характер магнитного поля Действие магнитного поля на движущийся заряд. Сила Лоренца. Движение заряженных частиц в магнитном поле. Вращение контура с током в магнитном поле. Работа перемещения проводника и контура с током в магнитном поле.

Электромагнитная индукция.

Явление электромагнитной индукции (опыты Фарадея). Правило Ленца. Закон электромагнитной индукции и его вывод из закона сохранения энергии. Явление самоиндукции. Индуктивность. Токи при замыкании и размыкании электрической цепи, содержащей индуктивность. Энергия катушки с током. Объемная плотность энергии магнитного поля.

Магнитное поле в веществе.

Магнитный момент атомов. Типы магнетиков. Намагниченность. Микро- и макротоки. Элементарная теория диа- и парамагнетизма. Закон полного тока для магнитного поля в веществе. Напряженность магнитного поля. Магнитная проницаемость среды. Ферромагнетики. Магнитный гистерезис. Точка Кюри. Спиновая природа ферромагнетизма.

Уравнения Максвелла.

Фарадеевская и Максвелловская трактовки явления электромагнитной индукции. Ток смещения. Система уравнений Максвелла в интегральной форме.

Колебательное движение

Понятие о колебательных процессах. Единый подход к колебаниям различной физической природы.

Амплитуда, частота, фаза гармонических колебаний. Сложение гармонических колебаний. Векторные диаграммы.

Маятник, груз на пружине, колебательный контур. Свободные затухающие колебания. Дифференциальное уравнение затухающих колебаний Коэффициент затухания, логарифмический декремент, добротность.

Вынужденные колебания при синусоидальном воздействии. Амплитуда и фаза при вынужденных колебаниях. Резонансные кривые. Вынужденные колебания в электрических цепях.

Волны

Механизм образования волн в упругой среде. Продольные и поперечные волны. Плоская синусоидальная волна. Бегущие и стоячие волны. Фазовая скорость, длина волны, волновое число. Одномерное волновое уравнение. Групповая скорость и дисперсия волн. Энергетические соотношения. Вектор Умова. Плоские электромагнитные волны. Поляризация волн. Энергетические соотношения. Вектор Пойнтинга. Излучение диполя. Диаграмма направленности

8 . Волновая оптика

Интерференция света .

Когерентность и монохроматичность световых волн. Расчет интерференционной картины от двух когерентных источников. Опыт Юнга. Интерференция света в тонких пленках. Интерферометры.

Дифракция света.

Принцип Гюйгенса-Френеля. Метод зон Френеля. Прямолинейное распространение света. Дифракция Френеля на круглом отверстии. Дифракция Фраунгофера на одной щели. Дифракционная решетка как спектральный прибор. Понятие о голографическом методе получения и восстановлении изображения.

Поляризация света.

Естественный и поляризовнный свет. Поляризация при отражении. Закон Брюстера. Анализ линейно-поляризованного света. Закон Малюса. Двойное лучепреломление. Искусственная оптическая анизотропия. Электрооптические и магнитооптические эффекты.

Дисперсия света.

Области нормальной и аномальной дисперсии. Электронная теория дисперсии света.

Квантовая природа излучения

Тепловое излучение.

Характеристики теплового излучения. Поглощательная способность. Черное тело. Закон Кирхгофа для теплового излучения. Закон Стефана-Больцмана. Распределение энергии в спектре абсолютно черного тела. Закон смещения Вина. Квантовая гипотеза и формула Планка.

Квантовая природа света.

Внешний фотоэффект и его законы. Уравнение Эйнштейна для внешнего фотоэффекта. Фотоны. Масса и импульс фотона. Давление света. Опыты Лебедева. Квантовое и волновое объяснение давления света. Корпускулярно-волновой дуализм света.

7.1. Общие свойства жидкостей и газов. Кинематическое описание движения жидкости. Векторные поля. Поток и циркуляция векторного поля. Стационарное течение идеальной жидкости. Линии и трубки тока. Уравнения движения и равновесия жидкости. Уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости

Механика сплошных сред – это раздел механики, посвященный изучению движения и равновесия газов, жидкостей, плазмы и деформируемых твердых тел. Основное допущение механики сплошных сред состоит в том, что вещество можно рассматривать как непрерывную сплошную среду, пренебрегая его молекулярным (атомным) строением, и одновременно считать непрерывным распределение в среде всех ее характеристик (плотности, напряжений, скоростей частиц).

Жидкость – это вещество в конденсированном состоянии, промежуточном между твердым и газообразным. Область существования жидкости ограничена со стороны низких температур фазовым переходом в твердое состояние (кристаллизация), а со стороны высоких температур – в газообразное (испарение). При изучении свойств сплошной среды сама среда представляется состоящей из частиц, размеры которых много больше размеров молекул. Таким образом, каждая частица включает в себя огромное количество молекул.

Чтобы описать движение жидкости, можно задать положение каждой частицы жидкости как функцию времени. Такой способ описания разрабатывался Лагранжем. Но можно следить не за частицами жидкости, а за отдельными точками пространства, и отмечать скорость, с которой проходят через каждую точку отдельные частицы жидкости. Второй способ называется методом Эйлера.

Состояние движения жидкости можно определить, указав для каждой точки пространства вектор скорости как функцию времени.

Совокупность векторов ,заданных для всех точек пространства, образует поле вектора скорости, которое можно изобразить следующим образом. Проведем в движущейся жидкости линии так, чтобы касательная к ним в каждой точке совпала по направлению с вектором(рис.7.1). Эти линии называются линиями тока. Условимся проводить линии тока так, чтобы их густота (отношение числа линий
к величине перпендикулярной к ним площадки
, через которую они проходят) была пропорциональна величине скорости в данном месте. Тогда по картине линий тока можно будет судить не только о направлении, но и о величине векторав разных точках пространства: там, где скорость больше, линии тока будут гуще.

Число линий тока, проходящих через площадку
, перпендикулярную к линиям тока, равно
, если площадка ориентирована произвольно к линиям тока, число линий тока равно, где
- угол между направлением вектораи нормалью к площадке. Часто используют обозначение
. Число линий тока через площадкуконечных размеров определяется интегралом:
. Интеграл такого вида называется потоком векторачерез площадку.

Величина и направление вектораменяется со временем, следовательно, и картина линий не остается постоянной. Если в каждой точке пространства вектор скорости остается постоянным по величине и направлению, то течение называется установившимся или стационарным. При стационарном течении любая частица жидкости проходит данную точку пространства с одним и тем же значением скорости. Картина линий тока в этом случае не меняется, и линии тока совпадают с траекториями частиц.

Поток вектора через некоторую поверхность и циркуляция вектора по заданному контуру позволяют судить о характере векторного поля. Однако эти величины дают среднюю характеристику поля в пределах объема, охватываемого поверхностью, через которую определяется поток, или в окрестности контура, по которому берется циркуляция. Уменьшая размеры поверхности или контура (стягивая их в точку), можно придти к величинам, которые будут характеризовать векторное поле в данной точке.

Рассмотрим поле вектора скорости несжимаемой неразрывной жидкости. Поток вектора скорости через некоторую поверхность равен объему жидкости, протекающей через эту поверхность в единицу времени. Построим в окрестности точки Р воображаемую замкнутую поверхность S (рис.7.2). Если в объеме V , ограниченном поверхностью, жидкость не возникает и не исчезает, то поток, вытекающий наружу через поверхность, будет равен нулю. Отличие потока от нуля будет указывать на то, что внутри поверхности имеются источники или стоки жидкости, т.е.точки, в которых жидкость поступает в объем (источники) или удаляется из объема (стоки).Величина потока определяет суммарную мощность источников и стоков. При преобладании источников над стоками поток положительный, при преобладании стоков – отрицательный.

Частное от деления потока на величину объема, из которого поток вытекает,
, есть средняя удельная мощность источников, заключенных в объемеV. Чем меньше объем V, включающий в себя точку Р, тем ближе это среднее значение к истинной удельной мощности в этой точке. В пределе при
, т.е. при стягивании объема в точку, мы получим истинную удельную мощность источников в точкеР, называемую дивергенцией (расхождением) вектора :
. Полученное выражение справедливо для любого вектора. Интегрирование ведется по замкнутой поверхностиS, ограничивающей объем V . Дивергенция определяется поведением векторной функции вблизи точкиР. Дивергенция - это скалярная функция координат, определяющих положение точкиР в пространстве.

Найдем выражение для дивергенции в декартовой системе координат. Рассмотрим в окрестности точки Р(x,y,z) малый объем в виде параллелепипеда с ребрами, параллельными осям координат (рис.7.3). В виду малости объема (его будем стремить к нулю) значения
в пределах каждой из шести граней параллелепипеда можно считать неизменными. Поток через всю замкнутую поверхность образуется из потоков, текущих через каждую из шести граней в отдельности.

Найдем поток через пару граней, перпендикулярных ост Х на рис.7.3 грани 1 и 2). Внешняя нормаль к грани 2 совпадает с направлением осиХ . Поэтому
и поток через грань 2 равен
.Нормальимеет направление, противоположное осиХ. Проекции вектора на осьХ и на нормальимеют противоположные знаки,
, и поток через грань 1 равен
. Суммарный поток в направленииХ равен
. Разность
представляет собой приращение при смещении вдоль оси Х на
. Ввиду малости

. Тогда получаем
. Аналогично, через пары граней, перпендикулярных осямY и Z , потоки равны
и
. Полный поток через замкнутую поверхность. Разделив это выражение на
, найдем дивергенцию вектора в точкеР :

Зная дивергенцию вектора в каждой точке пространства, можно вычислить поток этого вектора через любую поверхность конечных размеров. Для этого разобьем объем, ограниченный поверхностьюS , на бесконечно большое число бесконечно малых элементов
(рис.7.4).

Для любого элемента
поток вектора через поверхность этого элемента равен
. Просуммировав по всем элементам
, получаем поток через поверхностьS , ограничивающую объем V :
, интегрирование производится объемуV, или

Это теорема Остроградского – Гаусса. Здесь
,- единичный вектор нормали к поверхностиdS в данной точке.

Вернемся к течению несжимаемой жидкости. Построим контур . Представим себе, что мы каким-то образом заморозили мгновенно жидкость во всем объеме за исключением очень тонкого замкнутого канала постоянного сечения, включающего в себя контур(рис.7.5). В зависимости от характера течения жидкость в образовавшемся канале окажется либо неподвижной, либо движущейся (циркулирующей) вдоль контура в одном из возможных направлений. В качестве меры этого движения выбирается величина, равная произведению скорости жидкости в канале и длины контура,
. Эта величина называется циркуляцией векторапо контуру(так как канал имеет постоянное сечение и модуль скорости не меняется). В момент затвердевания стенок у каждой частицы жидкости в канале будет гаситься составляющая скорости, перпендикулярная к стенке и останется лишь составляющая, касательная к контуру. С этой составляющей связан импульс
, модуль которого для частицы жидкости, заключенной в отрезке канала длиной
, равен
, где- плотность жидкости,- сечение канала. Жидкость идеальная – трения нет, поэтому действие стенок может изменить только направление
, его величина останется постоянной. Взаимодействие между частицами жидкости вызовет такое перераспределение импульса между ними, которое выровняет скорости всех частиц. При этом алгебраическая сумма импульсов сохраняется, поэтому
, где - скорость циркуляции, - касательная составляющая скорости жидкости в объеме
в момент времени, предшествовавший затвердеванию стенок. Разделив на
, получим
.

Циркуляция характеризует свойства поля, усредненные по области с размерами порядка поперечника контура. Чтобы получить характеристику поля в точкеР , нужно уменьшит размеры контура, стягивая его в точку Р . При этом в качестве характеристики поля берут предел отношения циркуляции вектора по плоскому контуру, стягивающемуся в точкуР , к величине плоскости контура S :
. Величина этого предела зависит не только от свойств поля в точке Р , но и от ориентации контура в пространстве, которая может быть задана направлением положительной нормали к плоскости контура (положительной считается нормаль, связанная с направлением обхода контура правилом правого винта). Определяя этот предел для разных направлений, мы получим разные его значения, причем для противоположный направлений нормаль эти значения отличаются знаком. Для некоторого направления нормали величина предела будет максимальной. Таким образом, величина предела ведет себя как проекция некоторого вектора на направление нормали к плоскости контура, по которому берется циркуляция. Максимальное значение предела определяет модуль этого вектора, а направление положительной нормали, при котором достигается максимум, дает направление вектора. Этот вектор называется ротором или вихрем вектора:
.

Чтобы найти проекции ротора на оси декартовой система координат, нужно определить значения предела для таких ориентаций площадки S , при которых нормаль к площадке совпадает с одной из осейX,Y,Z. Если, например, направить по оси Х , найдем
. Контуррасположен в этом случае в плоскости, параллельнойYZ , возьмем контур в виде прямоугольника со сторонами
и
. При
значенияина каждой из четырех сторон контура можно считать неизменными. Участок 1 контура (рис.7.6) противоположен осиZ , поэтому на этом участке совпадает с
, на участке 2
, на участке 3
, на участке 4
. Для циркуляции по этому контуру получаем значение: . Разность
представляет собой приращение при смещении вдоль Y на
. Ввиду малости
это приращение можно представить в виде
.Аналогично, разность
. Тогда циркуляция по рассматриваемому контуру
,

где
- площадь контура. Разделив циркуляцию на
, найдем проекцию ротора на ось Х :
. Аналогично,
,
. Тогда ротор вектора определяется выражением:

+
,

или
.

Зная ротор вектора в каждой точке некоторой поверхностиS , можно вычислить циркуляцию этого вектора по контуру , ограничивающему поверхностьS . Для этого разобьем поверхность на очень малые элементы
(рис.7.7). Циркуляция по контуру, ограничивающему
равна
, где - положительная нормаль к элементу
. Просуммировав эти выражения по всей поверхности S и подставив выражение для циркуляции, получим
. Это теорема Стокса.

Часть жидкости, ограниченная линиями тока, называется трубкой тока. Вектор ,будучи в каждой точке касательным к линии тока, будет касательным к поверхности трубки тока, и частицы жидкости не пересекают стенок трубки тока.

Рассмотрим перпендикулярное к направлению скорости сечение трубки тока S (рис.7.8.). Будем считать, что скорость частиц жидкости одинакова во всех точках этого сечения. За время
через сечениеS пройдут все частицы, расстояние которых в начальный момент не превышает значения
. Следовательно, за время
через сечениеS
, а за единицу времени через сечениеS пройдет объем жидкости, равный
.. Будем считать, что трубка тока настолько тонкая, что скорость частиц в каждом ее сечении можно считать постоянной. Если жидкость несжимаемая (т.е. ее плотность всюду одинакова и не меняется), то количество жидкости между сечениямии(рис.7.9.) будет оставаться неизменным. Тогда объемы жидкости, протекающие за единицу времени через сеченияи, должны быть одинаковыми:

Таким образом, для несжимаемой жидкости величина
в любом сечении одной и той же трубки тока должна быть одинакова:

.Это утверждение называется теоремой о неразрывности струи.

Движение идеальной жидкости описывается уравнением Навье-Стокса:

где t - время, x,y,z – координаты жидкой частицы,

- проекции объемной силы, р – давление, ρ – плотность среды. Это уравнение позволяет определить проекции скорости частицы среды как функции координат и времени. Чтобы замкнуть систему, к уравнению Навье- Стокса добавляют уравнение неразрывности, которое является следствием теоремы о неразрывности струи:

. Для интегрирования этих уравнений требуется задать начальные (если движение не является стационарным) и граничные условия.

План

1. Понятие сплошной среды. Общие свойства жидкостей и газов. Идеальная и вязкая жидкость. Уравнение Бернулли. Ламинарное и турбулентное течение жидкостей. Формула Стокса. Формула Пуазейля.

2. Упругие напряжения. Энергия упруго деформированного тела.

Тезисы

1. Объем газа определяется объемом того сосуда, который газ занимает. В жидкостях в отличие от газов среднее расстояние между молекулами остается практически постоянным, поэтому жидкость обладает практически неизменным объемом. В механике с большой степенью точности жидкости и газы рассматриваются как сплошные, непрерывно распределенные в занятой ими части пространства. Плотность жидкости мало зависит от давления. Плотность же газов от давления зависит существенно. Из опыта известно, что сжимаемостью жидкости и газа во многих задачах можно пренебречь и пользоваться единым понятием несжимаемой жидкости, плотность которой всюду одинакова и не изменяется со временем. Идеальная жидкость - физическая абстракция, т. е. воображаемая жидкость, в которой отсутствуют силы внутреннего трения. Идеальная жидкость - воображаемая жидкость, в которой отсутствуют силы внутреннего трения. Ей противоречит вязкая жидкость. Физическая величина, определяемая нормальной силой, действующей со стороны жидкости на единицу площади, называется давлением р жидкости . Единица давления - паскаль (Па): 1 Па равен давлению, создаваемому силой 1 Н, равномерно распределенной по нормальной к ней поверхности площадью 1 м 2 (1 Па=1 Н/м 2). Давление при равновесии жидкостей (газов) подчиняется закону Паскаля: давление в любом месте покоящейся жидкости одинаково по всем направлениям, причем давление одинаково передается по всему объему, занятому покоящейся жидкостью.

Давление изменяется линейно с высотой. Давление Р=rgh называется гидростатическим. Сила давления на нижние слои жидкости больше, чем на верхние, поэтому на тело, погруженное в жидкость, действует выталкивающая сила, определяемая законом Архимеда: на тело, погруженное в жидкость (газ), действует со стороны этой жидкости направленная вверх выталкивающая сила, равная весу вытесненной телом жидкости (газа) , где r - плотность жидкости, V - объем погруженного в жидкость тела.

Движение жидкостей называется течением, а совокупность частиц движущейся жидкости - потоком. Графически движение жидкостей изображается с помощью линий тока, которые проводятся так, что касательные к ним совпадают по направлению с вектором скорости жидкости в соответствующих точках пространства (рис. 45). По картине линий тока можно судить о направлении и модуле скорости в разных точках пространства, т. е. можно определить состояние движения жидкости. Часть жидкости, ограниченную линиями тока, называют трубкой тока. Течение жидкости называется установившимся (или стационарным), если форма и расположение линий тока, а также значения скоростей в каждой ее точке со временем не изменяются.

Рассмотрим какую-либо трубку тока. Выберем два ее сечения S 1 и S 2 , перпендикулярные направлению скорости (рис. 46). Если жидкость несжимаема (r=const), то через сечение S 2 пройдет за 1 с такой же объем жидкости, как и через сечение S 1 , т. е. Произведение скорости течения несжимаемой жидкости на поперечное сечение трубки тока есть величина постоянная для данной трубки тока. Соотношение называется уравнением неразрывности для несжимаемой жидкости. - уравнение Бернулли - выражение закона сохранения энергии применительно к установившемуся течению идеальной жидкости (здесь р - статическое давление (давление жидкости на поверхность обтекаемого ею тела), величина - динамическое давление, - гидростатическое давление). Для горизонтальной трубки тока уравнение Бернулли записывается в виде , где левая часть называется полным давлением. - формула Торричелли

Вязкость - это свойство реальных жидкостей оказывать сопротивление перемещению одной части жидкости относительно другой. При перемещении одних слоев реальной жидкости относительно других возникают силы внутреннего трения, направленные по касательной к поверхности слоев. Сила внутреннего трения F тем больше, чем больше рассматриваемая площадь поверхности слоя S, и зависит от того, насколько быстро меняется скорость течения жидкости при переходе от слоя к слою. Величина Dv/Dx показывает, как быстро меняется скорость при переходе от слоя к слою в направлении х, перпендикулярном направлению движения слоев, и называется градиентом скорости. Таким образом, модуль силы внутреннего трения равен , где коэффициент пропорциональности h, зависящий от природы жидкости, называется динамической вязкостью (или просто вязкостью). Единица вязкости - паскаль секунда (Па с) (1 Па с=1 Н с/м 2). Чем больше вязкость, тем сильнее жидкость отличается от идеальной, тем большие силы внутреннего трения в ней возникают. Вязкость зависит от температуры, причем характер этой зависимости для жидкостей и газов различен (для жидкостей с увеличением температуры уменьшается, у газов, наоборот, увеличивается), что указывает на различие в них механизмов внутреннего трения. Особенно сильно от температуры зависит вязкость масел. Методы определения вязкости:

1) формула Стокса ; 2) формула Пуазейля

2. Деформация называется упругой, если после прекращения действия внешних сил тело принимает первоначальные размеры и форму. Деформации, которые сохраняются в теле после прекращения действия внешних сил, называются пластическими. Сила, действующая на единицу площади поперечного сечения, называется напряжением и измеряется в паскалях. Количественной мерой, характеризующей степень деформации, испытываемой телом, является его относительная деформация. Относительное изменение длины стержня (продольная деформация) , относительное поперечное растяжение (сжатие) , где d -- диаметр стержня. Деформации e и e" всегда имеют разные знаки , где m - положительный коэффициент, зависящий от свойств материала, называемый коэффициентом Пуассона.

Роберт Гук экспериментально установил, что для малых деформаций относительное удлинение e и напряжение s прямо пропорциональны друг другу: , где коэффициент пропорциональности Е называется модулем Юнга.

Модуль Юнга определяется напряжением, вызывающим относительное удлинение, равное единице . Тогда закон Гука можно записать так , где k - коэффициент упругости: удлинение стержня при упругой деформации пропорционально действующей на стержень силе. Потенциальная энергия упруго растянутого (сжатого) стержня Деформации твердых тел подчиняются закону Гука только для упругих деформаций. Связь между деформацией и напряжением представляется в виде диаграммы напряжений (рис. 35). Из рисунка видно, что линейная зависимость s (e), установленная Гуком, выполняется лишь в очень узких пределах до так называемого предела пропорциональности (s п). При дальнейшем увеличении напряжения деформация еще упругая (хотя зависимость s (e) уже не линейна) и до предела упругости (s у) остаточные деформации не возникают. За пределом упругости в теле возникают остаточные деформации и график, описывающий возвращение тела в первоначальное состояние после прекращения действия силы, изобразится не кривой ВО, а параллельной ей - CF. Напряжение, при котором появляется заметная остаточная деформация (~=0,2 %), называется пределом текучести (s т) - точка С на кривой. В области CD деформация возрастает без увеличения напряжения, т. е. тело как бы «течет». Эта область называется областью текучести (или областью пластических деформаций). Материалы, для которых область текучести значительна, называются вязкими, для которых же она практически отсутствует - хрупкими. При дальнейшем растяжении (за точку D) происходит разрушение тела. Максимальное напряжение, возникающее в теле до разрушения, называется пределом прочности (s p).

Совокупность векторов ,заданных для всех точек пространства, образует поле вектора скорости, которое можно изобразить следующим образом. Проведем в движущейся жидкости линии так, чтобы касательная к ним в каждой точке совпала по направлению с вектором (рис.7.1). Эти линии называются линиями тока. Условимся проводить линии тока так, чтобы их густота (отношение числа линий к величине перпендикулярной к ним площадки , через которую они проходят) была пропорциональна величине скорости в данном месте. Тогда по картине линий тока можно будет судить не только о направлении, но и о величине вектора в разных точках пространства: там, где скорость больше, линии тока будут гуще.

Число линий тока, проходящих через площадку , перпендикулярную к линиям тока, равно , если площадка ориентирована произвольно к линиям тока, число линий тока равно , где - угол между направлением вектора и нормалью к площадке . Часто используют обозначение . Число линий тока через площадку конечных размеров определяется интегралом: . Интеграл такого вида называется потоком вектора через площадку .

Величина и направление вектора меняется со временем, следовательно, и картина линий не остается постоянной. Если в каждой точке пространства вектор скорости остается постоянным по величине и направлению, то течение называется установившимся или стационарным. При стационарном течении любая частица жидкости проходит данную точку пространства с одним и тем же значением скорости. Картина линий тока в этом случае не меняется, и линии тока совпадают с траекториями частиц.

Рассмотрим поле вектора скорости несжимаемой неразрывной жидкости. Поток вектора скорости через некоторую поверхность равен объему жидкости, протекающей через эту поверхность в единицу времени. Построим в окрестности точки Р воображаемую замкнутую поверхность S (рис.7.2). Если в объеме V, ограниченном поверхностью, жидкость не возникает и не исчезает, то поток, вытекающий наружу через поверхность, будет равен нулю. Отличие потока от нуля будет указывать на то, что внутри поверхности имеются источники или стоки жидкости, т.е.точки, в которых жидкость поступает в объем (источники) или удаляется из объема (стоки).Величина потока определяет суммарную мощность источников и стоков. При преобладании источников над стоками поток положительный, при преобладании стоков – отрицательный.

Частное от деления потока на величину объема, из которого поток вытекает, , есть средняя удельная мощность источников, заключенных в объеме V. Чем меньше объем V, включающий в себя точку Р, тем ближе это среднее значение к истинной удельной мощности в этой точке. В пределе при , т.е. при стягивании объема в точку, мы получим истинную удельную мощность источников в точке Р, называемую дивергенцией (расхождением) вектора : . Полученное выражение справедливо для любого вектора. Интегрирование ведется по замкнутой поверхности S,ограничивающей объем V. Дивергенция определяется поведением векторной функции вблизи точки Р. Дивергенция - это скалярная функция координат, определяющих положение точки Р в пространстве.

Найдем выражение для дивергенции в декартовой системе координат. Рассмотрим в окрестности точки Р(x,y,z) малый объем в виде параллелепипеда с ребрами, параллельными осям координат (рис.7.3). В виду малости объема (его будем стремить к нулю) значения в пределах каждой из шести граней параллелепипеда можно считать неизменными. Поток через всю замкнутую поверхность образуется из потоков, текущих через каждую из шести граней в отдельности.

Найдем поток через пару граней, перпендикулярных ост Х на рис.7.3 грани 1 и 2). Внешняя нормаль к грани 2 совпадает с направлением оси Х. Поэтому и поток через грань 2 равен .Нормаль имеет направление, противоположное оси Х. Проекции вектора на ось Х и на нормаль имеют противоположные знаки, , и поток через грань 1 равен . Суммарный поток в направлении Х равен . Разность представляет собой приращение при смещении вдоль оси Х на . Ввиду малости это приращение можно представить в виде . Тогда получаем . Аналогично, через пары граней, перпендикулярных осям Y и Z , потоки равны и . Полный поток через замкнутую поверхность . Разделив это выражение на ,найдем дивергенцию вектора в точке Р:

Зная дивергенцию вектора в каждой точке пространства, можно вычислить поток этого вектора через любую поверхность конечных размеров. Для этого разобьем объем, ограниченный поверхностью S, на бесконечно большое число бесконечно малых элементов (рис.7.4).

Для любого элемента поток вектора через поверхность этого элемента равен . Просуммировав по всем элементам , получаем поток через поверхность S, ограничивающую объем V: , интегрирование производится объему V, или

Это теорема Остроградского – Гаусса. Здесь , - единичный вектор нормали к поверхности dS в данной точке.

Вернемся к течению несжимаемой жидкости. Построим контур . Представим себе, что мы каким-то образом заморозили мгновенно жидкость во всем объеме за исключением очень тонкого замкнутого канала постоянного сечения, включающего в себя контур (рис.7.5). В зависимости от характера течения жидкость в образовавшемся канале окажется либо неподвижной, либо движущейся (циркулирующей) вдоль контура в одном из возможных направлений. В качестве меры этого движения выбирается величина, равная произведению скорости жидкости в канале и длины контура, . Эта величина называется циркуляцией вектора по контуру (так как канал имеет постоянное сечение и модуль скорости не меняется). В момент затвердевания стенок у каждой частицы жидкости в канале будет гаситься составляющая скорости, перпендикулярная к стенке и останется лишь составляющая, касательная к контуру. С этой составляющей связан импульс , модуль которого для частицы жидкости, заключенной в отрезке канала длиной , равен , где - плотность жидкости, - сечение канала. Жидкость идеальная – трения нет, поэтому действие стенок может изменить только направление , его величина останется постоянной. Взаимодействие между частицами жидкости вызовет такое перераспределение импульса между ними, которое выровняет скорости всех частиц. При этом алгебраическая сумма импульсов сохраняется, поэтому , где - скорость циркуляции, - касательная составляющая скорости жидкости в объеме в момент времени, предшествовавший затвердеванию стенок. Разделив на ,получим .

Циркуляция характеризует свойства поля, усредненные по области с размерами порядка поперечника контура . Чтобы получить характеристику поля в точке Р, нужно уменьшит размеры контура, стягивая его в точку Р. При этом в качестве характеристики поля берут предел отношения циркуляции вектора по плоскому контуру , стягивающемуся в точку Р, к величине плоскости контура S: . Величина этого предела зависит не только от свойств поля в точке Р, но и от ориентации контура в пространстве, которая может быть задана направлением положительной нормали к плоскости контура (положительной считается нормаль, связанная с направлением обхода контура правилом правого винта). Определяя этот предел для разных направлений , мы получим разные его значения, причем для противоположный направлений нормаль эти значения отличаются знаком. Для некоторого направления нормали величина предела будет максимальной. Таким образом, величина предела ведет себя как проекция некоторого вектора на направление нормали к плоскости контура, по которому берется циркуляция. Максимальное значение предела определяет модуль этого вектора, а направление положительной нормали, при котором достигается максимум, дает направление вектора. Этот вектор называется ротором или вихрем вектора : .

Чтобы найти проекции ротора на оси декартовой система координат, нужно определить значения предела для таких ориентаций площадки S , при которых нормаль к площадке совпадает с одной из осей X,Y,Z. Если, например, направить по оси Х, найдем . Контур расположен в этом случае в плоскости, параллельной YZ, возьмем контур в виде прямоугольника со сторонами и . При значения и на каждой из четырех сторон контура можно считать неизменными. Участок 1 контура (рис.7.6) противоположен оси Z, поэтому на этом участке совпадает с , на участке 2 , на участке 3 , на участке 4 . Для циркуляции по этому контуру получаем значение: . Разность представляет собой приращение при смещении вдоль Y на . Ввиду малости это приращение можно представить в виде .Аналогично, разность . Тогда циркуляция по рассматриваемому контуру ,

где - площадь контура. Разделив циркуляцию на , найдем проекцию ротора на ось Х: . Аналогично, , . Тогда ротор вектора определяется выражением: + ,

Зная ротор вектора в каждой точке некоторой поверхности S, можно вычислить циркуляцию этого вектора по контуру , ограничивающему поверхность S. Для этого разобьем поверхность на очень малые элементы (рис.7.7). Циркуляция по контуру, ограничивающему равна , где - положительная нормаль к элементу . Просуммировав эти выражения по всей поверхности S и подставив выражение для циркуляции, получим . Это теорема Стокса.

Рассмотрим перпендикулярное к направлению скорости сечение трубки тока S(рис.7.8.). Будем считать, что скорость частиц жидкости одинакова во всех точках этого сечения. За время через сечение S пройдут все частицы, расстояние которых в начальный момент не превышает значения . Следовательно, за время через сечение S пройдет объем жидкости, равный , а за единицу времени через сечение S пройдет объем жидкости, равный .. Будем считать, что трубка тока настолько тонкая, что скорость частиц в каждом ее сечении можно считать постоянной. Если жидкость несжимаемая (т.е. ее плотность всюду одинакова и не меняется), то количество жидкости между сечениями и (рис.7.9.) будет оставаться неизменным. Тогда объемы жидкости, протекающие за единицу времени через сечения и , должны быть одинаковыми:

Таким образом, для несжимаемой жидкости величина в любом сечении одной и той же трубки тока должна быть одинакова:

Это утверждение называется теоремой о неразрывности струи.

Движение идеальной жидкости описывается уравнением Навье-Стокса:

где t - время, x,y,z – координаты жидкой частицы, - проекции объемной силы, р – давление, ρ – плотность среды. Это уравнение позволяет определить проекции скорости частицы среды как функции координат и времени. Чтобы замкнуть систему, к уравнению Навье- Стокса добавляют уравнение неразрывности, которое является следствием теоремы о неразрывности струи:

Для интегрирования этих уравнений требуется задать начальные (если движение не является стационарным) и граничные условия.

7.2. Давление в текущей жидкости. Уравнение Бернулли и следствие из него

Рассматривая движение жидкостей, в ряде случаев можно считать, что перемещение одних жидкостей относительно других не связано с возникновением сил трения. Жидкость, которой внутреннее трение (вязкость) полностью отсутствует, называется идеальной.

Выделим в стационарно текущей идеальной жидкости трубку тока малого сечения (рис.7.10). Рассмотрим объем жидкости, ограниченный стенками трубки тока и перпендикулярными к линиям тока сечениями и .За время этот объем переместиться вдоль трубки тока, причем сечение переместиться в положение ,пройдя путь , сечение переместиться в положение , пройдя путь .В силу неразрывности струи заштрихованные объемы будут иметь одинаковую величину:

Энергия каждой частицы жидкости равна сумме ее кинетической энергии и потенциальной в поле силы тяжести. Вследствие стационарности течения частица, находящаяся спустя время в любой из точек незаштрихованной части рассматриваемого объема (например точка O на рис. 7.10), имеет такую же скорость (и такую же кинетическую энергию), какую имела частица, находившаяся в той же точке в начальный момент времени. Поэтому приращение энергии всего рассматриваемого объема равно разности энергий заштрихованных объемов и .

В идеальной жидкости силы трения отсутствуют, поэтому приращение энергии (7.1) равно работе, совершаемой над выделенным объемом силами давления. Силы давления на боковую поверхность перпендикулярны в каждой точке к направлению перемещения частиц и работы не совершают. Работа сил, приложенных к сечениям и равна

Приравняв (7.1) и (7.2), получаем

Так как сечения и были взяты произвольно, то можно утверждать, что выражение остается постоянным в любом сечении трубки тока, т.е. в стационарно текущей идеальной жидкости вдоль любой линии тока выполняется условие

Это уравнение Бернулли. Для горизонтальной линии тока уравнение (7.3) принимает вид:

7.3.ИСТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ ИЗ ОТВЕРСТИЯ

Применим уравнение Бернулли к случаю истечения жидкости из малого отверстия в широком открытом сосуде. Выделим в жидкости трубку тока, верхнее сечение которой лежит на поверхности жидкости, а нижнее совпадает с отверстием (рис.7.11). В каждом их этих сечений скорость и высоту над некоторым исходным уровнем можно считать одинаковыми, давления в обоих сечениях равны атмосферному и также одинаковы, скорость перемещения открытой поверхности будем считать равной нулю. Тогда уравнение (7.3) принимает вид:

Импульс

7.4 .Вязкая жидкость. Силы внутреннего трения

Идеальная жидкость, т.е. жидкость без трения, является абстракцией. Всем реальным жидкостям и газам в большей или меньшей степени присуща вязкость или внутреннее трение.

Вязкость проявляется в том, что возникшее в жидкости или газе движение после прекращения действия сил, его вызвавших, постепенно прекращается.

Рассмотрим две параллельные друг другу пластины, помещенные в жидкость (рис.7.12). Линейные размеры пластин много больше расстояния между ними d . Нижняя пластина удерживается на месте, верхняя приводится в движение относительно нижней с некоторой

скоростью . Экспериментально доказано, что для перемещения верхней пластины с постоянной скоростью необходимо воздействовать на нее вполне определенной постоянной по величине силой . Пластина не получает ускорения, следовательно, действие этой силы уравновешивается равной ей по величине силой, которая и есть сила трения, действующая на пластину при ее движении в жидкости. Обозначим ее, а часть жидкости, лежащей под плоскостью, действует на часть жидкости, лежащей над плоскостью, с силой . При этом и определяются формулой (7.4). Таким образом, эта формула выражает силу между соприкасающимися слоями жидкости.

Экспериментально доказано, что скорость частиц жидкости изменяется в направлении z, перпендикулярном пластинам (рис.7.6) по линейному закону

Частицы жидкости, непосредственно соприкасающиеся с пластинами, как бы прилипают к ним и имеют такую же скорость, как и сами пластины. Из формулы (7.5) получаем

Знак модуля в этой формуле поставлен по следующей причине. При изменении направления движения производная скорости изменит знак, в то время как отношение всегда положительно. С учетом сказанного выражение (7.4) принимает вид

Единицей вязкости с СИ служит такая вязкость, при которой градиент скорости с модулем , приводит к возникновению силы внутреннего трения в 1 Н на 1м поверхности касания слоев. Эта единица называется Паскаль - секундой (Па ·с).

1 | | | |