Понятие о фигуре земли эллипсоид красовского. Фигура земли

Поверхность земного эллипсоида образуется вращением эллипса вокруг его малой оси и имеет те же параметры, что и образующий ее эллипс. Эллипсом называют геометрическое место точек, сумма расстояний которых от двух фиксированных точек, называемых его фокусами, постоянна и равна большой оси эллипса.

Уравнение эллипса в системе плоских прямоугольных координат имеет вид

полярное сжатие 
; (2. 2)

эксцентриситет
; (2. 3)

второй эксцентриситет
. (2. 4)

Для однозначного определения поверхности эллипсоида вращения необходимо знать два параметра, один из которых обязательно должен быть линейным. Используя выражения (2. 3) – (2. 4), несложно получить формулы связи различных параметров:

) =a
=
;

;
;

;
.

Для эллипсоида Красовского, как известно, большая полуось а = 6 378 245 м и полярное сжатие  = 1: 298. 3 , по которым можно вычислить следующие значения параметров:

b = 6 356 863.0188 м ;

= 0. 003 352 3299;

e 2 = 0. 006 693 4216;

e /2 = 0. 006 738 5254.

Для приближенных расчетов полезно запомнить округленные значения параметров земного эллипсоида: а 6 400 км,а – b 21км,1: 300 (310 -3), e 2 e /2 21: 150 (710 -3).

1. Системы координат высшей геодезии и связь между ними

Уравнение поверхности эллипсоида вращения в системе пространственных прямоугольных координат имеет вид

(3. 1)

Qn – нормаль к поверхности эллипсоида в точке Q.

Если в (3. 1) положить x = 0 или y = 0 , получим уравнения меридианных эллипсов

;
.

Если в уравнении (3. 1) положить z = 0, получим уравнение геодезического экватора, который представляет собой окружность радиуса a

Если поверхность эллипсоида пересечь плоскостью z = const, получим окружности радиуса r , которые называются геодезическими параллелями. Отсюда следует, что экватор – параллель наибольшего радиуса (r = a ).

На рисунке 3. 2 имеем системы координат, определяющие положение точки Q на меридианном эллипсе: плоские прямоугольные x, y ; геодезическую широту B; геоцентрическую широту Ф – угол, образованный геоцентрическим радиус-вектором OQ с плоскостью экватора; приведенную широту u – угол, образованный отрезком прямой Q 1 Q 2 O с плоскостью экватора, где Q 1 и Q 2 – проекции точки Q на окружности радиусов a и b , описанные вокруг точки О как центра.

Параметры земного эллипсоида

Земной эллипсоид имеет три основных параметра, любые два из которых однозначно определяют его фигуру:

Существуют также и другие параметры эллипсоида:

Для практической реализации земной эллипсоид необходимо ориентировать в теле Земли . При этом выдвигается общее условие: ориентирование должно быть выполнено таким образом, чтобы разности астрономических и геодезических координат были минимальными.

Референц-эллипсоид

Фигура референц-эллипсоида наилучшим образом подходит для территории отдельной страны или нескольких стран. Как правило, референц-эллипсоиды принимаются для обработки геодезических измерений законодательно . В России/CCCР с года используется эллипсоид Красовского .

Ориентирование референц-эллипсоида в теле Земли подчиняется следующим требованиям:

1. Малая полуось эллипсоида (b ) должна быть параллельна оси вращения Земли.
2. Поверхность эллипсоида должна находиться возможно ближе к поверхности геоида в пределах данного региона.

Для закрепления референц-эллипсоида в теле Земли необходимо задать геодезические координаты B 0 , L 0 , H 0 начального пункта геодезической сети и начальный азимут A 0 на соседний пункт. Совокупность этих величин называется исходными геодезическими датами .

Основные референц-эллипсоиды и их параметры

Общеземной эллипсоид

Общеземной эллипсоид должен быть ориентирован в теле Земли согласно следующим требованиям:

При ориентировании общеземного эллипсоида в теле Земли (в отличие от референц-эллипсоида) нет необходимости вводить исходные геодезические даты.

Поскольку требования к общеземным эллипсоидам на практике удовлетворяются с некоторыми допусками, а выполнение последнего (3) в полном объеме невозможно, то в геодезии и смежных науках могут использоваться различные реализации эллипсоида, параметры которых очень близки, но не совпадают (см. ниже).

Современные общеземные эллипсоиды и их параметры

Известно, что Земля шарообразна, т.е. не обладает формой идеального шара. Фигура ее неправильна, и, как всякое вращающееся тело, она немного сплюснута у полюсов. Кроме того, из-за неравномерного распределения масс земного вещества и глобальных тектонических деформаций Земля имеет обширные, хотя и довольно пологие, выпуклости и вогнутости. Сложную фигуру нашей планеты, ограниченную уровенной поверхностью океана, называют геоидом. Точно определить его форму практически невозможно, но современные высокоточные измерения со спутников позволяют иметь о нем достаточно хорошее представление и даже описать уравнением.

Наилучшее геометрическое приближение к реальной фигуре Земли дает эллипсоид вращения - геометрическое тело, которое образуется при вращении эллипса вокруг его малой оси. Сжатие эллипсоида моделирует сжатие планеты у полюсов. На рисунке видно, насколько не совпадают меридиональные сечения геоида и земного эллипсоида.

Вычисление и уточнение размеров земного эллипсоида, начатое еще в XVIII в., продолжается по сей день. Теперь для этого используют спутниковые наблюдения и точные гравиметрические измерения. Это непростая задача: нужно рассчитать геометрически правильную фигуру - референц-эллипсоид, который наилучшим образом приближен к геоиду и относительно которого будут выполняться все геодезические вычисления и рассчитываться картографические проекции. Многие исследователи, пользуясь разными исходными данными и методиками расчета, получают неодинаковые результаты. Поэтому исторически сложилось так, что в разные времена и в разных странах были приняты и законодательно закреплены различные эллипсоиды, и их параметры не совпадают между собой.

В России принят референц-эллипсоид Ф. Н. Красовского, вычисленный в 1940 г. Его параметры таковы:

большая полуось {а) - 6 378 245 м;

малая полуось (b) - 6 356 863 м;

сжатие а = (а - b)/a- 1: 298,3.

В США и Канаде до недавнего времени использовали эллипсоид Кларка, рассчитанный еще в 1866 г., его большая полуось на 39 м короче, чем в российском эллипсоиде, а сжатие определено в 1:295,0. Во многих странах Западной Европы и некоторых государствах Азии принят эллипсоид Хейфорда, вычисленный в 1909 г., а в бывших английских колониях - в Индии и странах Южной Азии, используют рассчитанный англичанами в 1830 г. эллипсоид Эвереста. В 1984 г. на основе спутниковых измерений вычислен международный эллипсоид WGS-84 (World Geodetic System). Всего в мире насчитывается около полутора десятков разных эллипсоидов.

Карты, составленные на основе разных эллипсоидов, получаются в несколько различающихся координатных системах, что создает неудобства. Однако для принятия единого международного эллипсоида требуется перевычислить координаты и пересоставить все карты, а это долгое, сложное и, главное, дорогостоящее дело.

Несовпадения бывают заметны главным образом на крупномасштабных картах при определении по ним точных координат объектов. Но на широко используемых географами средне- и мелкомасштабных картах такие различия не очень чувствительны. Более того, иногда вместо эллипсоида берут шар и тогда в качестве среднего радиуса Земли принимают величину Я = 6367,6 км. Погрешности при замене эллипсоида шаром оказываются столь малы, что никак не проявляются на большинстве географических карт.

§ 1. Фигура и размеры Земли

Многочисленные исследования и измерения позволили установить, что Земля имеет форму неправильного в математическом отношении тела, называемого геоидом. Поверхность, образующая геоид, в отличие от физической поверхности Земли с ее неровностями (горы, впадины и т. п.) во всех своих точках горизонтальна, т. е. совпадает с нормалью к направлению силы тяжести и определяется как уровенная поверхность. В природе такая уровенная поверхность совпадает со средним уровнем воды океанов и открытых морей в спокойном состоянии (при отсутствии,волнения, течений, приливов и других возмущающих факторов), мысленно продолженным под все материки. Неправильность геоида обусловливается неравномерным распределением масс в толще Земли, от притягивающего действия которых зависит направление силы тяжести.
Теоретические исследования и результаты обработки астрономо-геодезических и гравиметрических измерений, а также результаты наблюдений за искусственными спутниками Земли показывают, что геоид близок к математически правильной фигуре - эллипсоиду вращения, образованному вращением эллипса вокруг его малой оси. Поэтому при производстве геодезических, картографических и других работ, требующих высокой точности, за фигуру Земли принимают эллипсоид вращения.
Величина отклонения по высоте поверхности геоида от поверхности земного эллипсоида, принятого в СССР и надлежащим образом подобранного по размерам и ориентированного в теле Земли, не превышает 100-150 м. Эллипсоид вращения практически отождествляется со сфероидом, представляющим фигуру равновесия вращающейся однородной жидкой массы. Отклонение по высоте поверхностей эллипсоида вращения и сфероида не превышает 2-3 м.

Определение размеров земного эллипсоида, имеющего наибольшую близость к фигуре Земли в целом, продолжает оставаться одной из основных задач высшей геодезии. Поэтому в разных странах обработку результатов геодезических и топографических работ относят к вспомогательной математической поверхности, представляющей земной эллипсоид с размерами, принятыми для данной страны. Эллипсоид с определенными размерами, к поверхности которого относят все результаты геодезических и топографических работ в государстве, называют референц - эллипсоидом.
Основными элементами, определяющими размеры земного эллипсоида, являются его полуоси: большая а и малая Ь. Кроме того, для характеристики земного эллипсоида, а также для некоторых расчетов применяются понятия: полярное сжатие α земного эллипсоида, выражаемое формулой
α = а - b / a, (1 формула)
и эксцентрицитет его (е), определяемый выражением
e = √ a 2 - b 2 / a (2 формула)
Начиная с 1946 г. для всех геодезических и картографических работ на территории СССР принимается референц-эллипсоид Ф. Н. Красовского с размерами:
- большая полуось а = 6 378 245 м;
- малая полуось b = 6 356 863 м;
- полярное сжатие α = 1:298,3;
- квадрат эксцентрицитета е 2 =1:149,15.

При выводе размеров референц-эллипсоида группой ученых, геодезистов, топографов и вычислителей под руководством профессора Ф. Н. Красовского были использованы обширнейшие материалы астрономических, геодезических и гравиметрических измерений, производившихся в СССР на протяжении многих лет, а также результаты аналогичных работ, выполненных в других странах. Размеры референц-эллипсоида Красовского подтверждаются также результатами обработки наблюдений за искусственными спутниками Земли, произведенных в последние годы.
Ориентирование в теле Земли земного эллипсоида с соответствующими размерами полуосей и сжатия характеризуется так называемыми исходными геодезическими датами. Исходными геодезическими датами называют координаты начального пункта триангуляции, определяющие его Широту В 0 , долготу L 0 , азимут A 0 на какой-либо смежный пункт и высоту h 0 поверхности геоида относительно поверхности референц-эллипсоида.
Эти даты принимаются за начальные при расчете координат всех других пунктов земной поверхности.
При- пользовании иностранными. картами следует помнить, что в разных странах приняты различные исходные геодезические даты. Поэтому одни и те же пункты на картах, изданных в разных странах, могут иметь различные координаты. Хотя это различие может быть и небольшим, но с ним в кораблевождении нужно считаться и перенос места корабля с одной карты на другую при плавании вблизи берегов следует производить не по географическим координатам, а по направлению и расстоянию до ближайшего опорного пункта, помещенного на обеих картах.
Принятие Земли за эллипсоид вращения является, по существу, вторым приближением при определении фигуры Земли. При решении некоторых задач практической навигации, не требующих высокой точности, оказывается возможным ограничиваться первым приближением в определении формы Земли - принимать Землю за шар. К таким задачам относятся вычисления дальности видимости ориентиров в море, расчеты для плавания по кратчайшему расстоянию, аналитические расчеты при определении места по радиопеленгам, расчеты по формулам аналитического счисления и некоторые другие.
Для определения величины радиуса Земли - шара обычно исходят из некоторых дополнительных условий.
Одним из них является условие, чтобы длина одной минуты дуги меридиана (или любого большого круга на шаре) была равна 1852 м, т. е. длине стандартной морской мили. В этом случае радиус шара, отвечающего поставленному условию, получится равным
R = 1852 * 60 * 360 / 2 π = 6 366 707 м.
При решении ряда задач картографии ставится условие, чтобы объем земного шара был равен объему земного эллипсоида или чтобы поверхность шара была равна поверхности эллипсоида. Длина радиуса R шара, одинакового с земным эллипсоидом объема, равна
R = кубический корень √ (a 2 * b) = 6371109,7 м.
Если ставится условие, чтобы поверхность шара была равна поверхности эллипсоида, то радиус такого шара принимается равным

где М- радиус кривизны меридиана; N - радиус кривизны первого вертикала в данной точке.

§ 2. Географическая система координат

Положение точки на любой поверхности или в пространстве определяется совокупностью конкретных величин, называемых координатами. Координаты могут выражаться как в линейной, так и в угловой мере; они определяют положение координатных линий относительно принятых за начало осей координат. Для определения положения точек на земной поверхности могут применяться различные системы координат: географическая, прямоугольная, полярная и др. Наиболее употребительной является система географических координат.
Малая ось эллипсоида пересекает поверхность последнего в двух точках, которые называются северными и южным полюсами. Плоскости, проходящие через ось вращения Земли, называются плоскостями земных меридианов, которые в сечении с поверхностью Земли образуют большие круги, называемые меридианами. Плоскость, перпендикулярная земной оси и проходящая через центр эллипсоида, называется плоскостью экватора. Большой круг, образующийся от пересечения этой плоскости с поверхностью эллипсоида, называется земным экватором. Плоскости, параллельные плоскости земного экватора в сечении с поверхностью Земли, образуют малые круги, называемые земными параллелями.

Координатными осями системы географических координат приняты: экватор и один из меридианов, принимаемый за начальный; координатными линиями являются земные параллели и меридианы, а величинами, определяющими положение точек, т. е. координатами, географическая широта и географическая долгота.
Географической широтой точки на поверхности Земли называется угол между нормалью к поверхности эллипсоида в этой точке и плоскостью экватора. Географическая широта в кораблевождении обозначается греческой буквой φ (фи). Счет широт ведется от экватора к полюсам от 0 до 90°. Широты северного полушария считаются положительными и при аналитических расчетах они принимаются со знаком плюс. Северные широты обозначаются буквой N. Широты точек южного полушария, обозначаемые буквой S, считаются отрицательными и им приписывается знак минус.
Географическая широта определяет положение параллели, на которой находится определяемая точка.
Географической долготой точки называется двугранный угол, образованный плоскостью начального меридиана и плоскостью меридиана, проходящего через эту точку. Двугранный угол измеряется сферическим углом при полюсе между начальным меридианом и меридианом определяемой точки или численно равной ему дугой экватора, заключенной между названными меридианами.
За начальный меридиан в принципе может приниматься любой земной меридиан. По международному соглашению 1884 г. большинством стран мира, в том числе и Советским Союзом, за начальный принят меридиан, проходящий через Гринвичскую обсерваторию, расположенную около Лондона.
Счет географических долгот ведется к востоку и западу от Гринвичского меридиана от 0 до 180°. Географическая долгота в кораблевождении обозначается греческой буквой λ (ламбда). Долготы точек, находящихся в восточном полушарии, принято считать положительными (знак плюс), западные долготы считаются отрицательными (знак минус). При определении долготы той или иной точки земной поверхности обязательно указывают на ее наименование: восточной - Оst или, как сейчас принято, Е, западной - W. В зависимости от метода вычисления- географических координат различают координаты геодезические и астрономические.
В геометрическом определении геодезических координат, которые получаются в результате геодезических измерений (триангуляции, полигонометрии), никакой разницы с общей формулировкой географических координат нет. Места точек, фиксируемых геодезической широтой и геодезической долготой, относятся также к математически правильной фигуре-эллипсоиду вращения.
При определении места астрономическими способами наблюдатель имеет дело с линией отвеса, совпадающей с направлением силы тяжести, а не с нормалью к поверхности эллипсоида. Поэтому в астрономической системе координат широта определится как угол между плоскостью экватора и направлением отвеса в данной точке. Долгота места, определенного астрономическим способом, представляет собой двугранный угол между плоскостью начального меридиана (меридиана Гринвича) и плоскостью астрономического меридиана данной точки. Примененный термин-астрономический меридиан - надо понимать как след от сечения земной поверхности плоскостью, проходящей через отвесную линию в данной точке и параллельной оси мира. Из определения астрономических координат видно, что они в отличие от геодезических координат фиксируют положение точек относительно поверхности действительной фигуры Земли-геоида.

Нормаль к поверхности земного эллипсоида в общем случае не проходит через центр Земли. Вместе с тем при решении астрономических задач, а также ряда специальных задач математической картографии появляется необходимость определять положение точек земной поверхности относительно центра Земли. В этом случае долгота произвольной точки К определится также, как и в географической системе координат, а, широта получится как угол между плоскостью экватора и прямой, соединяющей данную точку с центром эллипсоида. Такая широта называется геоцентрической широтой и обозначается φ". На рисунке видно, что геоцентрическая широта в общем случае меньше географической широты на величину редукции r широты, которая может быть подсчитана по формуле
r"" = φ - φ" = α sin 2 φ / arc 1"" (3 формула)
Для точек, расположенных на экваторе и на полюсе, редукция широты равна нулю. Наибольшего значения (11,5") редукция достигает в широте 45°.
В случаях, когда форма Земли принимается за шар, положение точек на Земле-шаре определяется так же, как и на поверхности эллипсоида, их географическими координатами, т. е. широтой и долготой. Но нормаль на Земле-шаре совпадает с его радиусом.
Поэтому географической широтой φ некоторой точки М на земном шаре будет угол при центре сферы между плоскостью экватора и радиусом, проходящим через определяемую точку. Из сопоставления определений широты видно, что геоцентрическая широта является лишь частным случаем широты сферической.

Глава 1

§ 3. Разность широт и разность долгот

Географические координаты - широта и долгота - однозначно определяют положение конкретной точки земной поверхности. Переход от одной точки земной поверхности к другой сопровождается изменением их географических координат. Точки, лежащие на одной параллели, имеют одинаковую широту и разные долготы. Точки, расположенные на одном меридиане, имеют одну и ту же долготу и различные широты. В общем случае две точки, не находящиеся на одном меридиане или на одной параллели, имеют разные широты и разные долготы. В практике кораблевождения часто необходимо знать, как изменились или изменятся географические координаты при переходе из одной точки земной поверхности в другую, и уметь вычислять эти изменения. Величинами, характеризующими изменение географических координат при переходе от одной точки земной поверхности к другой, являются разность широт и разность долгот.
Разностью широт (РШ) двух точек на поверхности Земли называется дуга меридиана, заключенная между параллелями этих точек.
Для вычисления разности широт пользуются формулой
РШ = φ 2 - φ 1 ,
принимая во внимание при этом знаки + и - соответственно их наименованию. Действительно, на рисунке видно, что изменение широты (РШ) при переходе корабля из точки А в точку Б характеризуется дугой А"Б, численно равной разности дуг меридианов точек прихода Б и отхода А, определяемых соответственно широтами φ Б и φ А.
Рассчитанной по формуле (4) разности широт приписывается знак плюс, если она совершена к N, и знак минус, если разность широт совершена к S. Разность широт может изменяться от 0 до ±180°.
Разность долгот (РД), характеризующая изменение долготы, как видно из рисунка, представляет собой центральный угол между меридианами двух точек. Этот угол измеряется дугой экватора между указанными меридианами. На этом основании разностью долгот двух точек на поверхности Земли называется меньшая из дуг экватора, заключенная между меридианами этих точек. Из этого определения следует, что разность долгот может иметь значения от 0 до ±180°. С учетом ранее принятых обозначений (для восточной долготы знак плюс и для западной - минус) можно написать формулу для вычисления РД двух точек:
РД = λ 2 - λ 1
Разность долгот будет иметь знак плюс, если она совершена к Ost, и знак минус, если она совершена к W. Указанное правило имеет следующий геометрический смысл: если меридиан пункта прихода λ 2 располагается восточнее меридиана пункта отхода λ 1, значит, разность долгот сделана к Оst и ей приписывается знак плюс. И наоборот, когда меридиан пункта прихода расположен западнее меридиана пункта отхода, разность долгот сделана к W и ей приписывается знак минус.

При решении задачи на расчет РД по формуле может получиться результат, превышающий 180°. В этих случаях для нахождения меньшей из дуг экватора полученный результат следует вычесть из 360° и изменить знак (наименование) его на обратный.