Ортогональная система векторов. Ортогональная система векторов Ортогональная система векторов

⁰

Если на плоскости выбрать какие-нибудь два взаимно перпендикулярных вектора единичной длины (рис. 7), то произвольный вектор в той же плоскости можно разложить по направлениям этих двух векторов, т. е. представить его в виде

где - числа, равные проекциям вектора на направления осей Так как проекция на ось равна произведению длины на косинус угла с осью, то, вспоминая определение скалярного произведения, мы можем написать

Аналогично, если в трехмерном пространстве выбрать какие-нибудь три взаимно перпендикулярных вектора единичной длины, то произвольный векторов этом пространстве можно представить в виде

В гильбертовом пространстве также можно рассматривать системы попарно ортогональных векторов этого пространства, т. е. функций

Такие системы функций называются ортогональными системами функций и играют большую роль в анализе. Они встречаются в самых различных вопросах математической физики, интегральных уравнений, приближенных вычислений, теории функций действительного переменного и т. п. Упорядочение и объединение понятий, относящихся к таким системам, были одним из стимулов, приведших в начале XX в. к созданию общего понятия гильбертова пространства.

Дадим точные определения. Система функций

называется ортогональной, если любые две функции этой системы ортогональны между собой, т. е. если

В трехмерном пространстве мы требовали, чтобы длины векторов системы равнялись единице. Вспомнив определение длины вектора, мы видим, что в случае гильбертова пространства это требование записывается так:

Система функций, удовлетворяющая требованиям (13) и (14), называется ортогональной и нормированной.

Приведем примеры таких систем функций.

1. На интервале рассмотрим последовательность функций

Каждые две функции из этой последовательности ортогональны между собой. Это проверяется простым вычислением соответствующих интегралов. Квадрат длины вектора в гильбертовом пространстве есть интеграл от квадрата функции. Таким образом, квадраты длин векторов последовательности

суть интегралы

т. e. последовательность наших векторов ортогональна, но не нормирована. Длина первого вектора последовательности равна а все

остальные имеют длину . Поделив каждый вектор на его длину, мы получим ортогональную и нормированную систему тригонометрических функций

Эта система является исторически одним из первых и наиболее важных примеров ортогональных систем. Она возникла в работах Эйлера, Д. Бернулли, Даламбера в связи с задачей о колебаниях струны. Ее изучение сыграло существенную роль в развитии всего анализа.

Появление ортогональной системы тригонометрических функций в связи с задачей о колебаниях струны не случайно. Каждая задача о малых колебаниях среды приводит к некоторой системе ортогональных функций, описывающих так называемые собственные колебания данной системы (см. § 4). Например, в связи с задачей о колебаниях сферы появляются так называемые сферические функции, в связи с задачей о колебаниях круглой мембраны или цилиндра появляются так называемые цилиндрические функции и т. д.

2. Можно привести пример ортогональной системы функций, каждая функция которой является многочленом. Таким примером является последовательность многочленов Лежандра

т. е. есть (с точностью до постоянного множителя) производная порядка от . Выпишем первые несколько многочленов этой последовательности:

Очевидно, что вообще есть многочлен степени. Мы предоставляем читателю самому убедиться, что эти многочлены представляют собой ортогональную последовательность на интервале

Общую теорию ортогональных многочленов (так называемые ортогональные многочлены с весом) развил замечательный русский математик П. Л. Чебышев во второй половине XIX в.

Разложение по ортогональным системам функций. Подобно тому как в трехмерном пространстве каждый вектор можно представить

в виде линейной комбинации трех попарно ортогональных векторов единичной длины

в функциональном пространстве возникает задача о разложении произвольной функции в ряд по ортогональной и нормированной системе функций, т. е. о представлении функции в виде

При этом сходимость ряда (15) к функции понимается в смысле расстояния между элементами в гильбертовом пространстве. Это значит, что среднее квадратичное уклонение частичной суммы ряда от функции стремится к нулю при , т. е.

Такая сходимость называется обычно «сходимостью в среднем».

Разложения по тем или иным системам ортогональных функций часто встречаются в анализе и являются важным методом для решения задач математической физики. Так, например, если ортогональная система есть система тригонометрических функций на интервале

то такое разложение есть классическое разложение функции в тригонометрический ряд

Предположим, что разложение (15) возможно для любой функции из гильбертова пространства, и найдем коэффициенты такого разложения. Для этого умножим обе части равенства скалярно на одну и ту же функцию нашей системы. Мы получим равенство

из которого в силу того, что при определяется значение коэффициента

Мы видим, что, как и в обычном трехмерном пространстве (см. начало этого параграфа), коэффициенты равны проекциям вектора на направления векторов .

Вспоминая определение скалярного произведения, получаем, что коэффициенты разложения функции по ортогональной и нормированной системе функций

определяются по формулам

В качестве примера рассмотрим ортогональную нормированную тригонометрическую систему функций, приведенную выше:

Мы получили формулу для вычисления коэффициентов разложения функции в тригонометрический ряд в предположении, конечно, что это разложение возможно.

Мы установили вид коэффициентов разложения (18) функции по ортогональной системе функций в предположении, что такое разложение имеет место. Однако бесконечная ортогональная система функций может оказаться недостаточной для того, чтобы по ней можно было разложить любую функцию из гильбертова про странства. Чтобы такое разложение было возможно, система ортогональных функцийдолжна удовлетворять дополнительному условию - так называемому условию полноты.

Ортогональная система функций называется полной, если к ней нельзя добавить ни одной, не равной тождественно нулю функции, ортогональной ко всем функциям системы.

Легко привести пример неполной ортогональной системы. Для этого возьмем какую-нибудь ортогональную систему, например ту же

систему тригонометрических функций, и исключим одну из функций этой системы, например Оставшаяся бесконечная система функций

будет по прежнему ортогональной, конечно, не будет полной, так как исключенная нами функция : ортогональна ко всем функциям системы.

Если система функций не полна, то не всякую функцию из гильбертова пространства можно по ней разложить. Действительно, если мы попытаемся разложить по такой системе нулевую функцию ортогональную ко всем функциям системы, то, в силу формул (18), все коэффициенты окажутся равными нулю, в то время как функция не равна нулю.

Имеет место следующая теорема: если задана полная ортогональная и нормированная система функций в гильбертовом пространстве то всякую функцию можно разложить в ряд по функциям этой системы

При этом коэффициенты разложения равны проекциям векторов на элементы ортогональной нормированной системы

Имеющаяся в § 2 теорема Пифагора в гильбертовом пространстве позволяет найти интересное соотношение между коэффициентами и функцией Обозначим через разность между и суммой первых членов ее ряда, т. е.

Определение . Векторы a и b называются ортогональными (перпендикулярными) друг другу, если их скалярное произведение равно нулю, т.е. a × b = 0.

Для ненулевых векторов a и b равенство нулю скалярного произведения означает, что cosj = 0, т.е. . Нулевой вектор ортогонален любому вектору, т.к. a ×0 = 0.

Упражнение. Пусть и – ортогональные векторы. Тогда естественно считать диагональю прямоугольника со сторонами и . Докажите, что

т.е. квадрат длины диагонали прямоугольника равен сумме квадратов длин двух его непараллельных сторон (теорема Пифагора).

Определение. Система векторов a 1 ,…, a m называется ортогональной, если ортогональны любые два вектора этой системы .

Таким образом, для ортогональной системы векторов a 1 ,…,a m справедливо равенство:a i ×a j = 0 при i ¹ j , i = 1,…, m ; j = 1,…,m .

Теорема 1.5 . Ортогональная система, состоящая из ненулевых векторов, линейно независима. .

□ Доказательство проведем от противного. Предположим, что ортогональная система ненулевых векторов a 1 , …, a m линейно зависима. Тогда

l 1 a 1 + …+ l m a m = 0 , при этом . (1.15)

Пусть, например, l 1 ¹ 0. Домножим на a 1 обе части равенства (1.15):

l 1 a 1 ×a 1 + …+ l m a m ×a 1 = 0.

Все слагаемые, кроме первого, равны нулю в силу ортогональности системы a 1 , …, a m . Тогда l 1 a 1 ×a 1 =0, откуда следует a 1 = 0 , что противоречит условию. Наше предположение оказалось неверным. Значит, ортогональная система ненулевых векторов линейно независима. ■

Имеет место следующая теорема.

Теорема 1.6 . В пространстве R n всегда существует базис, состоящий из ортогональных векторов (ортогональный базис)
(без доказательства).

Ортогональные базисы удобны прежде всего тем, что коэффициенты разложения произвольного вектора по таким базисам определяются просто.

Пусть требуется найти разложение произвольного вектора b по ортогональному базису е 1 ,…,е n . Составим разложение этого вектора с неизвестными пока коэффициентами разложения по данному базису:

Умножим обе части этого равенства скалярно на вектор e 1 . В силу аксиом 2° и 3° скалярного произведения векторов получим

Так как векторы базиса е 1 ,…,е n взаимно ортогональны, то все скалярные произведения векторов базиса, за исключением первого, равны нулю, т.е. коэффициент определяется по формуле

Умножая поочередно равенство (1.16) на другие базисные векторы, мы получим простые формулы для вычисления коэффициентов разложения вектора b :

Формулы (1.17) имеют смысл, поскольку .

Определение . Вектор a называется нормированным (или единичным), если его длина равна 1, т.е. (a , a )= 1.

Любой ненулевой вектор можно нормировать. Пусть a ¹ 0 . Тогда , и вектор есть нормированный вектор.

Определение . Система векторов е 1 ,…,е n называется ортонормированной, если она ортогональна и длина каждого вектора системы равна 1, т.е.

Так как в пространстве R n всегда существует ортогональный базис и векторы этого базиса можно нормировать, то в R n всегда существует ортонормированный базис.

Примером ортонормированного базиса пространства R n может служить система векторов е 1 ,=(1,0,…,0),…, е n =(0,0,…,1) со скалярным произведением, определенным равенством (1.9). В ортонормированном базисе е 1 ,=(1,0,…,0),…, е n =(0,0,…,1) формулы (1.17) для определения координат разложения вектора b имеют наиболее простой вид:

Пусть a и b – два произвольных вектора пространства R n с ортонормированным базисом е 1 ,=(1,0,…,0),…, е n =(0,0,…,1). Обозначим координаты векторов a и b в базисе е 1 ,…,е n соответственно через a 1 ,…,a n и b 1 ,…, b n и найдем выражение скалярного произведения этих векторов через их координаты в данном базисе, т.е. предположим, что

Из последнего равенства в силу аксиом скалярного произведения и соотношений (1.18) получим

Окончательно имеем

Таким образом, в ортонормированном базисе скалярное произведение двух любых векторов равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов .

Рассмотрим теперь в n-мерном евклидовом пространстве R n совершенно произвольный (вообще говоря, не ортонормированный) базис и найдем выражение скалярного произведения двух произвольных векторов a и b через координаты этих векторов в указанном базисе.f 1 ,…,f n евклидова пространства R n скалярное произведение двух любых векторов было равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов, необходимо и достаточно, чтобы базис f 1 ,…,f n был ортонормированным.

В самом деле, выражение (1.20) переходит в (1.19) тогда и только тогда, когда выполнены соотношения устанавливающие ортонормированность базиса f 1 ,…,f n .

1) О. такое, что (x a , x ab)=0 при . Если при этом норма каждого вектора равна единице, то система {x a } наз. ортонормированной. Полная О. с. {x a } наз. ортогональным (ортонормированным) базисом. М. И. Войцеховский.

2) О. с. координат - система координат, и к-рой координатные линии (или поверхности) пересекаются под прямым углом. О. с. координат существуют в любом евклидовом пространстве, но, вообще говоря, не существуют в произвольном пространстве. В двумерном гладком аффинном пространстве О. с. всегда можно ввести по крайней мере в достаточно малой окрестности каждой точки. Иногда возможно введение О. с. координат в делом. В О. с. метрич. тензор g ij диагоналей; диагональные компоненты g ii принято наз. коэффициентами Ламе. Ламе коэффициент О. с. в пространстве выражаются формулами

где x, у и z - декартовы прямоугольные координаты. Через коэффициенты Ламе выражаются элемент длины:

элемент площади поверхности:

элемент объема:

векторные дифференциальные операции:

Наиболее часто используемые О. с. координат: на плоскости - декартовы, полярные, эллиптические, параболические; в пространстве - сферические, цилиндрические, параболоидальные, бицилиндрические, биполярные. Д. Д. Соколов.

3) О. с. функций - конечная или счетная система {j i (x)} функций, принадлежащих пространству

L 2 (X, S, m) и удовлетворяющих условиям

Если l i =1 для всех i, то система наз. ортонормированной. При этом предполагается, что мера m(x), определенная на s-алгебре Sподмножеств множества X, счетно аддитивна, полна и имеет счетную базу. Это определение О. с. включает все рассматриваемые в современном анализе О. с.; они получаются при различных конкретных реализациях пространства с мерой (X, S, m).

Наибольший интерес представляют полные ортонормированные системы {j n (x)}, обладающие тем свойством, что для любой функции существует единственный ряд , сходящийся к f(x) в метрике пространства L 2 (X, S, m), при этом коэффициенты с п определяются формулами Фурье

Такие системы существуют в силу сепарабельности пространства L 2 (X, S, m). Универсальный способ построения полных ортонормированных систем дает метод ортогонализации Шмидта. Для этого достаточно применить его к нек-рой полной L 2 (S, X, m) системе линейно независимых функций.

В теории ортогональных рядов в основном рассматриваются О. с. пространЛва L 2 [a, b ](тот частный случай, когда Х= [ а, b ], S - система множеств, измеримых по Лебегу, и m - мера Лебега). Многие теоремы о сходимости или суммируемости рядов , , по общим О. с. {j n (x)} пространства L 2 [a, b ]верны и для рядов по ортонормированным системам пространства L 2 (X, S, m). Вместе с тем в этом частном случае построены интересные конкретные О. с., обладающие теми или иными хорошими свойствами. Таковы, например, системы Хаара, Радемахера, Уолша-Пэли, Франклина.

1) Система Хаара

где m=2 n +k, , т=2, 3, ... . Ряды по системе Хаара представляют типичный пример мартингалов и для них верны общие теоремы из теории мартингалов. Кроме того, система является базисом в L p , , и ряд Фурье по системе Хаара любой интегрируемой функции почти всюду сходится.

2) Система Радемахера

представляет собой важный пример О. с. независимых функций и имеет применения как в теории вероятностей, так н в теории ортогональных и общих функциональных рядов.

3) Система Уолша - Пэли определяется через функции Радемахера:

где числа ти q k определяются из двоичного разложения числа п:

4) Система Франклина получается ортогонализацией методом Шмидта последовательности функций

Она является примером ортогонального базиса пространства С непрерывных функций.

В теории кратных ортогональных рядов рассматриваются системы функций вида

где - ортонормированная система в L 2 [a, b ]. Такие системы ортонормированы на m-мерном кубе J m = [a, b ]x . . .x[ а, b ] и полны, если полна система {j n (x)}

Лит. :[l] Качмаж С., Штейнгауз Г., Теория ортогональных рядов, пер. с нем., М., 1958; Итоги науки. Математический анализ, 1970, М., 1971, с. 109-46; там же, с. 147- 202; Дуб Д ж., Вероятностные процессы, пер. с англ., М., 1956; Лоэв М., Теория вероятностей, пер. с англ., М., 1962; Зигмунд А., Тригонометрические ряды, пер. с англ., т. 1-2, М., 1965. А. А. Талалян.

- конечная или счётная система ф-ций, принадлежащих гильбертову пространству L2 и удовлетворяющих условиям Ф-ция gназ. весом О. с. ф.,* означает комплексное сопряжение...
Физическая энциклопедия
- группа всех линейных преобразований n-мерного векторного пространства Vнад полем k, сохраняющих фиксированную невырожденную квадратичную форму Q на V)=Q для любого)...
Математическая энциклопедия
- матрица над коммутативным кольцом R с единицей 1, для к-рой транспонированная матрица совпадает с обратной. Определитель О. м. равен +1...
Математическая энциклопедия
- сеть, у к-рой касательные в нек-рой точке к линиям различных семейств ортогональны. Примеры О. с.: асимптотическая сеть на минимальной поверхности, кривизны линий сеть. А. В. Иванов...
Математическая энциклопедия
- ортогональный массив, ОА - матрица размера kx N, элементы к-рой суть числа 1, 2, .....
Математическая энциклопедия
- см. Изогональная траектория...
Математическая энциклопедия
- English: System «generator - motor» Регулируемый электропривод, преобразовательным устройством которого является электромашинный преобразовательный агрегат Источник: Термины и определения в электроэнергетике...
Строительный словарь
- см. Проекция...
Большой энциклопедический политехнический словарь
- порядок определения результатов выборов, при котором мандаты между партиями, выставившими своих кандидатов в представительный орган, распределяются в соответствии с полученным ими количеством голосов...
Словарь юридических терминов
- разновидность пропорциональной избирательной системы. По конечным результатам напоминает пропорциональную систему с панашированием и преференциальным голосованием...
Словарь юридических терминов
- органы тела человека, участвующие в процессе воспроизведения потомства...
Медицинские термины
- серия из четырех видов генов, которые кодируют полиморфные белки, содержащиеся на поверхности большинства ядросодержащих клеток...
Медицинские термины
- порядка n Матрица...
- частный случай параллельной проекции, когда ось или плоскость проекций перпендикулярна направлению проектирования...
Большая Советская энциклопедия
- система функций {}, n = 1, 2,..., ортогональных с весом ρ на отрезке, т. е. таких, что Примеры. Тригонометрическая система 1, cos nx, sin nx; n = 1, 2,..., - О. с. ф. с весом 1 на отрезке...
Большая Советская энциклопедия
- ОРТОГОНАЛЬНАЯ система ФУНКЦИЙ - система функций??n?, n=1, 2,.....
Большой энциклопедический словарь

"ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА" в книгах

Параграф XXIV Старая система позиционных войн и современная система маршей

Из книги Стратегия и тактика в военном искусстве автора Жомини Генрих Вениаминович

Параграф XXIV Старая система позиционных войн и современная система маршей Под системой позиций понимается старый способ ведения методической войны с армиями, ночующими в палатках, имеющими снабжение под рукой, занимающимися наблюдением друг за другом; одна армия

19. Понятие «налоговая система РФ». Соотношение понятий «налоговая система» и «система налогов»

Из книги Налоговое право автора Микидзе С Г

19. Понятие «налоговая система РФ». Соотношение понятий «налоговая система» и «система налогов» Система налогов – это совокупность установленных в РФ федеральных налогов, региональных и местных налогов. Ее структура закреплена в ст. 13–15 НК РФ.В соответствии с

Из книги Как было на самом деле. Реконструкция подлинной истории автора Носовский Глеб Владимирович

23. Геоцентрическая система Птолемея и гелиоцентрическая система Тихо Браге (и Коперника) Система мира по Тихо Браге показана на рис. 90. В центре мира находится Земля, вокруг которой вращается Солнце. Однако все остальные планеты уже обращаются вокруг Солнца. Именно

23. Геоцентрическая система Птолемея и гелиоцентрическая система Тихо Браге (и Коперника)

Из книги автора

23. Геоцентрическая система Птолемея и гелиоцентрическая система Тихо Браге (и Коперника) Система мира по Тихо Браге показана на рис. 90. В центре мира находится Земля, вокруг которой вращается Солнце. Однако, все остальные планеты уже обращаются вокруг Солнца. Именно

Ортогональная матрица

БСЭ

Ортогональная проекция

Из книги Большая Советская Энциклопедия (ОР) автора БСЭ

Ортогональная система функций

Из книги Большая Советская Энциклопедия (ОР) автора БСЭ

49. Судебная система и система правоохранительных органов по «Основам законодательства СССР и союзных республик» 1958 г.

Из книги История государства и права России автора Пашкевич Дмитрий

49. Судебная система и система правоохранительных органов по «Основам законодательства СССР и союзных республик» 1958 г. Основы законодательства о судоустройствеустанавливали принципы построения судебной системы Союза ССР, принципы коллегиального рассмотрения

Система объективного (позитивного) права и система законодательства: соотношение понятий

Из книги Правоведение автора Мардалиев Р. Т.

Система объективного (позитивного) права и система законодательства: соотношение понятий Система объективного (позитивного) права это внутреннее строение права, деление его на отрасли, подотрасли и институты в соответствии с предметом и методом правового

29. Приказная система управления и система местного самоуправления в период сословно-представительной монархии

автора

29. Приказная система управления и система местного самоуправления в период сословно-представительной монархии Приказы – органы системы централизованного управления, которые первоначально развились из единоличных и временных правительственных поручений, издаваемых

86. Cудебная система и система правоохранительных органов по «Основам законодательства СССР и союзных республик» 1958 г

Из книги Шпаргалка по истории государства и права России автора Дудкина Людмила Владимировна

86. Cудебная система и система правоохранительных органов по «Основам законодательства СССР и союзных республик» 1958 г Уже с 1948 г. процессуальное законодательство СССР и республик претерпело значительные изменения:1) народные суды стали выборными;2) суды стали более

31. Система государственных органов Франции, избирательное право и избирательная система

Из книги Конституционное право зарубежных стран автора Имашева Е Г

31. Система государственных органов Франции, избирательное право и избирательная система Во Франции существует смешанное (или полупрезидентское) республиканское правление. Система органов власти во Франции построена на принципе разделения властей.Современная Франция

44. Система государственных органов Франции, избирательное право и избирательная система

Из книги Конституционное право зарубежных стран. Шпаргалка автора Белоусов Михаил Сергеевич

44. Система государственных органов Франции, избирательное право и избирательная система Франция является смешанной (полупрезидентской) республикой, система органов власти которой основана на принципе разделения властей.Франция сегодня – это республика с сильной

Глава IV. Двойная система соответствия голове. Система "насекомого". Минисистема

Из книги Су Джок для всех автора Ву Пак Чжэ

Глава IV. Двойная система соответствия голове. Система "насекомого". Минисистема Двойная система соответствия головеНа пальцах кистей и стоп располагаются две системы соответствия голове: система "типа человека" и система "типа животного".Система "типа человека".Граница

Первый эмоциональный центр - костная система, суставы, кровообращение, иммунная система, кожа

Из книги Всё будет хорошо! автора Хей Луиза

Первый эмоциональный центр - костная система, суставы, кровообращение, иммунная система, кожа Здоровое состояние органов, связанных с первым эмоциональным центром, зависит от ощущения безопасности в этом мире. Если вы лишены поддержки семьи и друзей, которая вам

Конструктивного исполнения ПЛМ представляют собой БИС, выполненную в виде системы ортогональных шин, в узлах которой располагаются базовые полупроводниковые элементы -транзисторы или диоды. Настройка ПЛМ на требуемое логическое преобразование (программирование ПЛМ) заключается в соответствующей организации связей между базовыми логическими элементами. Программирование ПЛМ выполняется либо при ее изготовлении, либо пользователем с помощью прибора -программатора. Благодаря -таким свойствам ПЛМ, как простота структурной организации и высокая скорость выполнения логических преобразовании, а также сравнительно низкая стоимость, определяемая технологичностью и массовым производством , ПЛМ находят широкое применение в качестве элементной базы при проектировании вычислительных систем и систем автоматизации производства.

Не существует хороших "механических систем", которым можно было бы следовать даже на этом уровне. По моему мнению, вообще никогда и не было успешной "механической" системы, которая описывалась бы линейной моделью . Не существует и теперь и, по всей вероятности, никогда не будет существовать, даже с использованием искусственного интеллекта , аналоговых процессоров, генетических алгоритмов , ортогональных регрессий и нейронных сетей.

Поясним смысл нормы - G. В (пг+1)-мерном пространстве вводится косоугольная система координат , одной осью которой является прямая Хе, а второй осью - пг-мерная гиперплоскость G, ортогональная g. Всякий вектор х может быть представлен в виде

Параболическая регрессия и система ортогональных по-

Ограничимся для определенности случаем т = 2 (переход к общему случаю т > 2 осуществляется очевидным образом без каких-либо затруднений) и представим функцию регрессии в системе базисных функций if>0 (л), (х), ip2 to) являющихся ортогональными (на совокупности наблюденных

Взаимная ортогональность полиномов (7- (JK) (на системе наблюдений xlt к. .., хп) означает, что

При таком планировании, называемом ортогональным, матрица Х Х станет диагональной, т.е. система нормальных уравнений распадается на k+l независимых уравнений

Система точек с выполнением условия ортогональности (план 1-го порядка)

Очевидно, что тензор деформаций в твердом движении обращается в нуль. Можно показать, что верно и обратное если во всех точках среды тензор деформации равен нулю, то закон движения в некоторой прямоугольной системе координат наблюдателя имеет вид (3.31) с ортогональной матрицей а а. Таким образом, твердое движение можно определить как движение сплошной среды, при котором расстояние между любыми двумя точками среды в процессе движения не меняется.

Два вектора называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю. Система векторов называется ортогональной, если векторы этой системы попарно ортогональны.

О Пример. Система векторов = (, О,. . ., 0), е% = = (О, 1,. . ., 0), . .., е = (0, 0,. . . , 1) ортогональна.

Оператор Фредгол ма с ядром k (to - TI, 4 - 12) обладает в гильбертовом пространстве (согласно теореме Гильберта) полной ортогональной системой собственных векторов . Это значит, что фг(т) образуют полный базис в Lz(to, Т). Поэтому Я сЯ.

Ортогональная система н-енулевых векторов линейно независима.

Приведенный способ пострюения ортогональной системы векторов t/i, УЪ,. ..> ym+t по заданной линейно неза-

Для биотехнической системы бурения скважин, где объем физической работы остается значительным, исследования биомеханической и двигательно-силовой сфер деятельности представляют особый интерес. Состав и структура трудовых движений , количество, динамические и статические нагрузки и развиваемые усилия изучались нами на буровых установках Уралмаш-ЗД при помощи стереоскопической киносъемки (двумя синхронно действующими камерами по специальной методике при частоте 24 кадра в 1 с) и ганиографического метода с применением трехканального медицинского осциллографа. Жесткое закрепление оптических осей, параллельных друг другу и перпендикулярных к линии базиса (объекта киносъемки), позволило количественно изучать (на основе перспективно-ортогональных сопряженных проекций по кинокадрам, как показано на рис. 48) рабочие позы, траектории перемещения центров тяжести работающих при выполнении отдельных операций, приемы, действия и определять усилия, энергозатраты и др.

Перспективным подходом к определению независимых альтернатив необходимо признать выявление независимых синтетических факторных показателей. Исходная система факторных показателей Xi трансформируется в систему новых синтетических независимых между собой факторных показателей FJ, которые представляют собой ортогональные компоненты системы показателей Хг. Трансформация производится с помощью методов компонентного анализа 1. Математиче-

Одной из составных частей ADAD является модуль для трехмерного проектирования сложных систем трубопроводов. Графическая база данных модуля содержит объемные элементы трубопроводов (соединения, краны, фланцы, трубы). Выбранный из библиотеки элемент автоматически приводится в соответствие с характеристиками трубопроводной системы проектируемой модели. Модуль осуществляет обработку чертежей и создает двух-и трехмерные изображения, включая построение изометрических моделей и ортогональных проекций объектов. Предусмотрен выбор деталей для трубопроводов, видов покрытий и типов изоляций согласно заданной спецификации.

Из соотношений (2.49) видно, как следует строить решение уравнений (2.47). Сначала строится полярное разложение тензора of и определяются тензоры р "ь нцц,- Поскольку тензоры а "ь и р I равны, матрица s имеет вид (2.44), (2.45) в главной системе координат тензора р. Фиксируем матрицу Su. Тогда aad = lp labsd. По aad из уравнения aad = = biljд х ad вычисляется au. "Ортогональная часть" дисторсии находится из (2.49) id = nib sd.

Остальные ветв, условию (2.5 1) не удовлетворяют. Докажем это утверждение. Матри-ца х = A 5, f = X Mfs ортогональна. Обозначим через X j матрицу, соответствующую первой матрице s" (2.44), а через Х й - матрицу, соответствующую любому другому выбору матрицы sa (2.44). Сумма " а + Аза по построению s" равна либо удвоенному значению одного из диагональных

Такое подмножество векторов $\left\{ \varphi_i \right\}\subset H$ , что любые различные два из них ортогональны , то есть их скалярное произведение равно нулю:

$(\varphi_i, \varphi_j) = 0$ .

Ортогональная система в случае её полноты может быть использована в качестве базиса пространства. При этом разложение любого элемента $\vec a$ может быть вычислено по формулам: $\vec a = \sum_{k} \alpha_i \varphi_i$ , где $\alpha_i = \frac{(\vec a, \varphi_i)}{(\varphi_i, \varphi_i)}$ .

Случай, когда норма всех элементов $||\varphi_i||=1$ , называется ортонормированной системой .

Ортогонализация

Любая полная линейно независимая система в конечномерном пространстве является базисом. От простого базиса, следовательно, можно перейти к ортонормированному базису.

Ортогональное разложение

При разложении векторов векторного пространства по ортонормированному базису упрощается вычисление скалярного произведения: $(\vec a, \vec b) = \sum_{k} \alpha_k\beta_k$ , где $\vec a = \sum_{k} \alpha_k \varphi_k$ и $\vec b = \sum_{k} \beta_k \varphi_k$ .

См. также

Напишите отзыв о статье "Ортогональная система"

Отрывок, характеризующий Ортогональная система

– Ну так что ж ты хочешь? Вы нынче ведь все влюблены. Ну, влюблена, так выходи за него замуж! – сердито смеясь, проговорила графиня. – С Богом!
– Нет, мама, я не влюблена в него, должно быть не влюблена в него.
– Ну, так так и скажи ему.
– Мама, вы сердитесь? Вы не сердитесь, голубушка, ну в чем же я виновата?
– Нет, да что же, мой друг? Хочешь, я пойду скажу ему, – сказала графиня, улыбаясь.
– Нет, я сама, только научите. Вам всё легко, – прибавила она, отвечая на ее улыбку. – А коли бы видели вы, как он мне это сказал! Ведь я знаю, что он не хотел этого сказать, да уж нечаянно сказал.
– Ну всё таки надо отказать.
– Нет, не надо. Мне так его жалко! Он такой милый.
– Ну, так прими предложение. И то пора замуж итти, – сердито и насмешливо сказала мать.
– Нет, мама, мне так жалко его. Я не знаю, как я скажу.
– Да тебе и нечего говорить, я сама скажу, – сказала графиня, возмущенная тем, что осмелились смотреть, как на большую, на эту маленькую Наташу.
– Нет, ни за что, я сама, а вы слушайте у двери, – и Наташа побежала через гостиную в залу, где на том же стуле, у клавикорд, закрыв лицо руками, сидел Денисов. Он вскочил на звук ее легких шагов.
– Натали, – сказал он, быстрыми шагами подходя к ней, – решайте мою судьбу. Она в ваших руках!
– Василий Дмитрич, мне вас так жалко!… Нет, но вы такой славный… но не надо… это… а так я вас всегда буду любить.